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La meilleure méthode revient à introduire formellement « toutes » les soustractions ???? − ???? et à identifier celles qui doivent donner les mêmes résultats, les mêmes différences. Ce procédé d’identification nécessite un peu de terminologie algébrique. 1. Relations d’équivalence. — Définition. — Le graphe d’une relation ℛ sur un ensemble ???? est une partie ???? du produit cartésien ???? × ???? (aussi noté ???? 2 ). On définit alors une relation ℛ associée en décrétant que l’assertion ????ℛ???? est vraie si et seulement si le couple (????, ????) appartient au graphe ????.

Alors, le lemme d’Euclide entraîne que ???? divise ????????−1 − 1, c’est-à-dire ????????−1 ≡ 1 (mod ????). (︀ )︀ 2. Pierre de Fermat, juriste et mathématicien français (env. 1605–1665). Le grand théorème de Fermat est le résultat suivant : si ???? ≥ 3 est un entier et si ????, ???? et ???? sont des entiers relatifs vérifiant la relation ???????? + ???? ???? + ???? ???? = 0 alors ????, ???? ou ???? est nul. Dans une note écrite dans la marge d’une page d’un ouvrage d’arithmétique, Fermat affirmait posséder une démonstration remarquable de ce fait, démonstration que la marge était malheureusement trop étroite pour contenir.

Théorème de Bézout. — (2) Soit ???? et ???? deux entiers relatifs. Alors, il existe des entiers relatifs ???? et ???? tels que pgcd(????, ????) = ???????? + ????????. ) Une première application montre que le pgcd de deux entiers relatifs est le plus grand de leurs diviseurs communs. Corollaire. — Soit ????, ???? et ???? trois entiers relatifs. L’entier ???? est un diviseur commun de ???? et ???? si et seulement si ???? est un diviseur de pgcd(????, ????). Ou encore : pour qu’un entier relatif divise deux entiers relatifs, il faut et il suffit qu’il divise leur pgcd.