Download e-book for kindle: Algebre, Chapitre 8: Modules et anneaux semi-simples by Nicolas Bourbaki

By Nicolas Bourbaki

ISBN-10: 2705612610

ISBN-13: 9782705612610

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Bemerkung 1. 1 zeigt =, daB AI kein freier A-M:Jdul ist für jede unendliche Menge I, tmd zwar ganz analog wie bei 1 = IN. Dieser letzte Fall erleichtert den Beweis nur in schreibtechnischer Hinsicht. 1 vergleiche = Aufgabe 1 zu diesem Anhang. Wir ~llen noch ein spezielles Resultat über die Gruppe 7l IN beweisen, welches schärfer ist als die Aussage, daB 7l IN nicht frei ist. Wir setzen dazu voraus, daB deIn Leser der Begriff der Linearfonn auf einem M:Jdul tmd insbesondere auf einer abelschen Gruppe vertraut ist.

V, x f bildung f : V ..... A mit f (x) t Y, eine A-lineare Ab- f (y) gibt. ) Wegen fIx) - f(y) = f (x-y) für eine A-lineare Abbildung f : V -4 A ist V genau dann torsionslos , wenn es zu jedem z € V, z t O,eine A-lineare Abbildung f : V -+ A mit f (z) f 0 gibt. Jeder Unte:rnodul eines torsionslosen 1-bduls ist wieder torsionslos. Die direkten Produkte AI, I beliebige Menge, sind torsionslos , denn auf zwei verschiedenen I-Tupel (bi)' (c i ) hat wenigstens eine der A-linearen Projektionen (a. ) H- a.

In dieser Charakterisierung von #1oA sind aber die Linksideale gegenüber den Rechtsidealen nicht nehr ausgezeichnet. ist also auch das JacobSO'l- A<\ Radikal des zu A entgegengesetzten Ringes. 4 vollständig be- wiesen. A. 7. Satz. lent: Seien A ein Ring und ot. ein Linksideal in A. Dann sind äquiva- 41 Radikale (1) m. Q1. ~ A X (3) Far jeden A-Modul V und jeden kofiniten Untermodul U von V gilt: Ist V = U + ~V, Be wei s. = U. 6 und = U + Ax 1 + ••• + Axn und V = U + """V vorgegeben. 5. Aus (1) folgt (3): Seien V und U mit V betrachten.

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by Edward
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